Fourier-Analyse

(Kontinuierliche) Fourier-Transformation

Hauptartikel: Fourier-Transformation

Am häufigsten bezieht sich der unqualifizierte Begriff Fourier-Transformation auf die Transformation von Funktionen eines kontinuierlichen realen Arguments und erzeugt eine kontinuierliche Frequenzfunktion, die als Frequenzverteilung bezeichnet wird. Eine Funktion wird in eine andere umgewandelt und die Operation ist reversibel., Wenn der Bereich der Eingangs − (Anfangs−) Funktion Zeit (t) ist und der Bereich der Ausgangs – (End -) Funktion gewöhnliche Frequenz ist, wird die Transformation der Funktion s(t) bei Frequenz f durch die komplexe Zahl gegeben:

S ( f) = ∫ – ∞ ∞ s ( t ) ⋅ e-i 2 π f t d t. {\displaystyle S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt.}

Die Auswertung dieser Größe für alle Werte von f erzeugt die Frequenzbereichsfunktion., Dann s(t) dargestellt werden kann, wie eine Rekombination von komplexen Exponentialfunktionen der alle möglichen Frequenzen:

s ( t ) = ∫ − ∞ ∞ S ( f ) ⋅ e i 2 π f t d f , {\displaystyle s(t)=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df}

was ist die inverse Transformation formula. Die komplexe Zahl, S (f), vermittelt sowohl Amplitude als auch Phase der Frequenz f.,

Weitere Informationen finden Sie unter Fourier-Transformation, einschließlich:

• Konventionen für Amplitudennormalisierung und Frequenzskalierung/Einheiten
• Transformationseigenschaften
• tabellarische Transformationen bestimmter Funktionen
• eine Erweiterung/Generalisierung für Funktionen mit mehreren Dimensionen, z. B. Bilder.,

Fourier seriesEdit

Die Fourier-Transformation einer periodischen Funktion, sP(t) mit der Periode P, wird ein Dirac-Kamm-Funktion, moduliert durch eine Sequenz von komplexen Koeffizienten:

S = 1 P ∫ P s P ( t ) ⋅ e − i 2 π k P t d t , k ∈ Z , {\displaystyle S={\frac {1}{P}}\int _{P}s_{P}(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt,\quad k\in \mathbb {Z} ,} (wo ∫P ist das integral über ein Intervall der Länge P).,

Die inverse Transformation, bekannt als Fourier-Reihe, ist eine Darstellung von sP (t) in Form einer Summation einer potenziell unendlichen Anzahl harmonisch verwandter Sinusoiden oder komplexer Exponentialfunktionen mit jeweils einer Amplitude und Phase, die durch einen der Koeffizienten angegeben sind:

s P ( t) = F − 1 { ∑ k = − ∞ + ∞ S δ ( f − k P)} = ∑ k = − ∞ ∞ S ⋅ e i 2 π k P t. {\displaystyle s_{P}(t)\ \ =\ \ {\mathcal {F}}^{-1}\left\{\sum _{k=-\infty }^{+\infty }S\,\delta \left(f-{\frac {k}{P}}\right)\right\}\ \ =\ \ \sum _{k=-\infty }^{\infty }S\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P}}t}.,}

Jede sP(t) ausgedrückt werden kann als eine periodische Summe eine weitere Funktion s(t):

s P ( t ) ≜ ∑ m = − ∞ ∞ s ( t − m-P ) , {\displaystyle s_{P}(t)\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP),}

und die Koeffizienten proportional sind Proben von S( f ) in diskreten Intervallen von 1/P:

S = 1 P a ⋅ S ( k-P ) . {\displaystyle S={\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right).}

Beachten Sie, dass jedes s(t), dessen Transformation die gleichen diskreten Abtastwerte hat, in der periodischen Summierung verwendet werden kann. Eine ausreichende Bedingung für die Rückgewinnung von s(t) (und damit S( f )) aus nur diesen Proben (dh, aus der Fourier-Reihe) ist, dass der Nicht-Null–Teil von s(t) auf ein bekanntes Intervall der Dauer P beschränkt ist, welches der Frequenzbereich dual des Nyquist-Shannon-Abtastsatzes ist.

Siehe Fourier-Serie für weitere Informationen, einschließlich der historischen Entwicklung.

Zeit-Diskrete Fourier-Transformation (DTFT)Bearbeiten

Die DTFT ist die mathematische dual-Zeit-domain-Fourier-Reihe.,e Koeffizienten sind Proben, eine kontinuierliche Zeit-Funktion:

N 1 T ( f ) ≜ ∑ k = − ∞ ∞ S ( f − k T ) ≡ ∑ n = − ∞ ∞ s ⋅ e − i 2 π f n T ⏞ Fourier-Reihe (DTFT) ⏟ Poisson summation formula = F { ∑ n = − ∞ ∞ s δ ( t − n T ) } , {\displaystyle S_{\frac {1}{T}}(f)\ \triangleq \ \underbrace {\sum _{k=-\infty }^{\infty }N\left(f-{\frac {k}{T}}\right)\equiv \overbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }N\cdot e^{-i2\pi fnT}} ^{\text{Fourier-Reihe (DTFT)}}} _{\text{Poisson summation formula}}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }N\ \delta (t-nT)\right\},\,}

die ist bekannt als die DTFT., Somit ist die DTFT der s-Sequenz auch die Fourier-Transformation der modulierten Dirac-Kammfunktion.

Die Fourier-Reihe Koeffizienten (und inverse Transformation), sind definiert durch:

N ≜ T ∫ 1 T S 1 T ( f ) ⋅ e i 2 π f n T d f = T ∫ − ∞ ∞ S ( f ) ⋅ e i 2 π f n T d f ⏟ ≜ s ( n T ) . {\displaystyle s\ \triangleq \ T\int _{\frac {1}{T}}S_{\frac {1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df=T – \underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df} _{\triangleq \,s(nT)}.,}

Parameter T entspricht dem Abtastintervall, und diese Fourier-Reihe kann nun als eine Form der Poisson-Summationsformel erkannt werden. So haben wir das wichtige Ergebnis, dass, wenn eine diskrete Datensequenz, s, proportional zu Proben einer zugrunde liegenden kontinuierlichen Funktion, s(t), ist, kann man eine periodische Summation der kontinuierlichen Fourier-Transformation beobachten, S( f ). Beachten Sie, dass jedes s (t ) mit denselben diskreten Abtastwerten die gleiche DTFT erzeugt, aber unter bestimmten idealisierten Bedingungen theoretisch S( f) und s(t) genau wiederherstellen kann., Eine ausreichende Bedingung für eine perfekte Wiederherstellung ist, dass der Nicht-Null–Teil von S( f ) auf ein bekanntes Frequenzintervall der Breite 1/T beschränkt ist.Wenn dieses Intervall ist , ist die anwendbare Rekonstruktionsformel die Whittaker-Shannon-Interpolationsformel. Dies ist ein Eckpfeiler in der Grundlage der digitalen Signalverarbeitung.

Ein weiterer Grund, sich für S1/T( f ) zu interessieren, ist, dass es oft einen Einblick in die Menge an Aliasing gibt, die durch den Abtastprozess verursacht wird.

Anwendungen der DTFT sind nicht auf abgetastete Funktionen beschränkt.,ing (Sequenzen mit endlicher Länge)

Transformationseigenschaften

tabellarische Transformationen bestimmter Funktionen

Diskrete Fourier-Transformation (DFT)Bearbeiten

Ähnlich einer Fourier-Reihe wird die DTFT einer periodischen Sequenz sN mit der Periode N zu einer Dirac-Kammfunktion, moduliert durch eine Folge komplexer Koeffizienten (siehe DTFT § Periodische Daten):

S = ∑ n s N ⋅ e-i 2 π k N n, k ∈ Z, {\displaystyle S=\sum _{n}s_{N}\cdot e^{- i2\pi {\frac {k}{N}}n},\quad k\in \mathbb {Z},} (wobei ∑n die Summe über eine beliebige Folge der Länge N ist).,

Die S-Sequenz ist das, was üblicherweise als DFT eines Zyklus von sN bezeichnet wird. Es ist auch N-periodisch, so dass es nie notwendig ist, mehr als N Koeffizienten zu berechnen. Die inverse Transformation, auch bekannt als diskrete Fourier-Reihe ist gegeben durch:

N N = 1 N ∑ k S ⋅ e i 2 π n N-k , {\displaystyle s_{N}={\frac {1}{N}}\sum _{k}S\cdot e^{i2\pi {\frac {n}{N}}k},}, wobei ∑k ist die Summe über jede Folge der Länge N.,

Wenn sN ist ausgedrückt als eine periodische Summe eine weitere Funktion:

N N ≜ ∑ m = − ∞ ∞ s , {\displaystyle s_{N}\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s,} und N ≜ s ( n, T ) , {\displaystyle s\,\triangleq \,s(nT),}

die Koeffizienten proportional zu Proben S1/T( f ) in diskreten Intervallen von 1/P = 1/NT:

S = 1 T ⋅ S-1 T – (k-P ) . {\displaystyle S={\frac {1}{T}}\cdot S_{\frac {1}{T}}\left({\frac {k}{P}}\right).,}

Umgekehrt, wenn man eine beliebige Anzahl (N) diskreter Abtastwerte eines Zyklus einer kontinuierlichen DTFT, S1/T( f), berechnen möchte, kann dies durch Berechnung der relativ einfachen DFT von sN, wie oben definiert, erfolgen. In den meisten Fällen wird N gleich der Länge des Nicht-Null-Teils von s gewählt. Das Erhöhen von N, bekannt als Nullpolsterung oder Interpolation, führt zu engeren Abtastwerten eines Zyklus von S1/T( f ). Abnehmendes N, verursacht Überlappung (Addieren) im Zeitbereich (analog zum Aliasing), was der Dezimierung im Frequenzbereich entspricht., (siehe DTFT § Probenahme der DTFT) In den meisten Fällen von praktischem Interesse stellt die s-Sequenz eine längere Sequenz dar, die durch die Anwendung einer Fensterfunktion mit endlicher Länge oder eines FIR-Filterarrays abgeschnitten wurde.

Die DFT kann mit einem FFT-Algorithmus (Fast Fourier Transform) berechnet werden, was sie zu einer praktischen und wichtigen Transformation auf Computern macht.,

Siehe Diskrete Fourier-Transformation für viele weitere Informationen, einschließlich:

• Transformationseigenschaften
• Anwendungen
• tabellarische Transformationen bestimmter Funktionen

Zusammenfassungedit

Für periodische Funktionen umfassen sowohl die Fourier-Transformation als auch die DTFT nur einen diskreten Satz von Frequenzkomponenten (Fourier-Reihe), und die Transformationen divergieren bei diesen Frequenzen. Eine gängige Praxis (oben nicht diskutiert) besteht darin, diese Divergenz über Dirac Delta-und Dirac Comb-Funktionen zu handhaben., Aber die gleiche spektrale Information kann von nur einem Zyklus der periodischen Funktion unterschieden werden, da alle anderen Zyklen identisch sind. In ähnlicher Weise können Funktionen mit endlicher Dauer als Fourier-Reihe dargestellt werden, ohne dass tatsächlich Informationen verloren gehen, außer dass die Periodizität der inversen Transformation ein bloßes Artefakt ist.

Es ist in der Praxis üblich, dass die Dauer von s(•) auf den Zeitraum P oder N beschränkt ist, Aber diese Formeln erfordern diese Bedingung nicht.,

Symmetrieeigenschaftedit

Wenn die realen und imaginären Teile einer komplexen Funktion in ihre geraden und ungeraden Teile zerlegt werden, gibt es vier Komponenten, die unten durch die Indizes RE, RO, IE und IO bezeichnet werden.,iv>&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{Frequency domain}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {\,i\ S_{\text{IO}}\,} &+&iS_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}}

From this, various relationships are apparent, for example:

• The transform of a real-valued function (sRE+ sRO) is the even symmetric function SRE+ i SIO., Umgekehrt impliziert eine gerade symmetrische Transformation eine echtwertige Zeitdomäne.
• Die Transformation einer imaginärwertigen Funktion (i sIE+ i SiO) ist die ungerade symmetrische Funktion SRO+ i SIE, und das Gegenteil ist wahr.
• Die Transformation einer geraden symmetrischen Funktion (sRE+ i SiO) ist die reellwertige Funktion SRE+ SRO, und das Gegenteil ist wahr.
• Die Transformation einer ungeraden symmetrischen Funktion (sRO+ i sIE) ist die imaginärwertige Funktion i SIE+ i SIO, und das Gegenteil ist wahr.,

Fourier-Transformationen auf beliebigen lokal kompakten abelschen topologischen Gruppenedit

Die Fourier-Varianten können auch auf Fourier-Transformationen auf beliebigen lokal kompakten Abelschen topologischen Gruppen verallgemeinert werden, die in der harmonischen Analyse untersucht werden; dort übernimmt die Fourier-Transformation Funktionen auf einer Gruppe zu Funktionen auf der dualen Gruppe. Diese Behandlung ermöglicht auch eine allgemeine Formulierung des Faltungssatzes, der Fourier-Transformationen und-faltungen betrifft. Siehe auch die Pontryagin-Dualität für die verallgemeinerten Grundlagen der Fourier-Transformation.,

Eine spezifischere Fourier-Analyse kann für Kosets, sogar für diskrete Kosets, durchgeführt werden.

Time-frequency transformsEdit

In der Signalverarbeitung ist eine Funktion (der Zeit) eine Darstellung eines Signals mit perfekter Zeitauflösung, aber ohne Frequenzinformationen, während die Fourier-Transformation eine perfekte Frequenzauflösung, aber keine Zeitinformationen aufweist.,

Als Alternativen zur Fourier-Transformation verwendet man in der Zeitfrequenzanalyse Zeitfrequenztransformationen, um Signale in einer Form darzustellen, die einige Zeitinformationen und einige Frequenzinformationen enthält–nach dem Unsicherheitsprinzip gibt es einen Kompromiss zwischen diesen., Dies können Verallgemeinerungen der Fourier-Transformation sein, wie die Kurzzeit-Fourier-Transformation, die Gabor-Transformation oder die Fractional Fourier-Transformation (FRFT), oder sie können verschiedene Funktionen verwenden, um Signale darzustellen, wie in Wavelet-Transformationen und Chirplet-Transformationen, wobei das Wavelet-Analogon der (kontinuierlichen) Fourier-Transformation die kontinuierliche Wavelet-Transformation ist.