Gamma − Funktion

Allgemeinedit

Weitere wichtige Funktionsgleichungen für die Gamma-Funktion sind Eulers Reflexionsformel

Γ ( 1 − z ) Γ ( z ) = π sin ⁡ ( π z ) , z ∉ Z {\displaystyle \Gamma (1 − z)\Gamma (z)={\pi \over \sin(\pi z)},\qquad z\not \in \mathbb {Z} }

was

Γ ( ε − n) impliziert = (−1 ) n − 1 Γ (- ε ) Γ ( 1 + ε ) Γ ( n + 1-ε ) , {\displaystyle \Gamma (\varepsilon-n)=(-1)^{n-1}\;{\frac {\Gamma (−\varepsilon )\Gamma (1+\varepsilon )}{\Gamma (n+1 – \varepsilon )}},}

und die Legendre-Duplikationsformel

Γ ( z ) Γ ( z + 1 2 ) = 2 1-2 z π Γ ( 2 z ) ., {\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}

Die Duplikationsformel ist ein Sonderfall des Multiplikationssatzes (siehe Eq. 5.5.6)

∏ k = 0 m − 1 Γ ( z + k m ) = ( 2 π ) m − 1 2 m 1 2 − m z Γ ( m z ) . {\displaystyle \prod _{k=0}^{m-1}\Gamma \left(z+{\frac {k}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}\;m^{{\frac {1}{2}}-mz}\;\Gamma (mz).}

Eine einfache, aber nützliche Eigenschaft, die aus der Grenzwertdefinition ersichtlich ist, ist:

Γ (z) = Γ ( z) ⇒ Γ ( z) Γ ( z) ∈ R., {\displaystyle {\überstrichen {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\überstrichen {z}})\;\Rightarrow \;\Gamma (z)\Gamma ({\überstrichen {z}})\in \mathbb {R} .,quad n\in \mathbb {N} \\|\Gamma \left(-n+bi\right)|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh(\pi b)}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right)^{-1},\quad n\in \mathbb {N} \\|\Gamma \left ({tfrac {1}{2}}\pm n+bi\right)|^{2}&={\frac {\pi} {\cosh (\pi b)}}\prod _{k=1}^{n}\left (\left(k-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}\right)^{\pm 1},\quad n\in\mathbb {N} \end{ausgerichtet}}}

Der vielleicht bekannteste Wert der Gamma-Funktion bei einem nicht ganzzahligen Argument ist

Γ ( 1 2 ) = π, {\displaystyle\Gamma \left ({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},} Γ ( 1 2 + n ) = ( 2 n ) !, 4 n n ! π = ( 2 n − 1 ) ! ! 2 n π = ( n − 1 2 n ) n ! π Γ ( 1 2 − n ) = ( − 4 ) n n ! ( 2 n ) ! π = ( − 2 ) n ( 2 n − 1 ) ! ! π = π ( − 1 / 2 n ) n ! {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)&={(2n)! \über 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}={\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n}}n!{\sqrt {\pi }}\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}-n\right)&={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {\sqrt {\pi }}{{\binom {-1 / 2}{n}}n!,}}\end{aligned}}}

Die Ableitungen der Gamma-Funktion werden als Polygamma-Funktion beschrieben. Zum Beispiel:

Γ ‚ ( z ) = Γ ( z ) ψ 0 ( z ) . {\displaystyle \Gamma ‚(z)=\Gamma (z)\psi _{0}(z).}

Für eine positive Ganzzahl m kann die Ableitung der Gamma-Funktion wie folgt berechnet werden (hier ist γ {\displaystyle \gamma } die Euler-Mascheroni-Konstante):

Γ ‚ (m + 1 ) = m ! ( − γ + ∑ k = 1 m-1 k ) . {\displaystyle \Gamma ‚(m+1)=m!\left(-\gamma +\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)\,.,}

Für ℜ ( x ) > 0 {\displaystyle \Re (x)>0} n {\displaystyle n} TEN Ableitung der gamma-Funktion:

d n d x n Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ t x − 1 e − t ( ln ⁡ t ) n d t . {\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}(\ln t)^{n}\,dt.,}

(Dies kann abgeleitet werden , indem die Integralform der Gamma-Funktion in Bezug auf x {\displaystyle x} und die Technik der Differenzierung unter dem Integralzeichen verwendet wird.)

Mit der Identität

Γ ( n ) ( 1 ) = ( − 1 ) n n ! (a i ) k i = 1 r z i ( a i) k i ! ζ a i z ζ ∗ (x ): = { z (x ) x ≠ 1 γ x = 1 {\displaystyle \Gamma ^{(n)}(1)=(-1)^{n}n!\sum \limits _{\pi \,\vdash \,n}\,\prod _{i=1}^{r}{\frac {\zeta ^{*}(a_{i})}{k_{i}!,\cdot a_{i}}}\qquad \zeta ^{*}(x):={\begin{Fälle}\zeta (x)&x\neq 1\\\gamma &x=1\end{Fälle}}} π = a 1 + ⋯ + 1 ⏟ k 1 Bezug + ⋯ + a r + ⋯ + a r ⏟ k r Begriffe , {\displaystyle \pi =\underbrace {a_{1}+\cdot \ prod_ +a_{1}} _{k_{1}{\text{ terms}}}+\neq I +\underbrace {a_{r}+\cdot \ prod_ +a_{r}} _{k_{r}{\text{ terms}}},}

wir haben insbesondere

Γ ( z ) = 1 z − γ + 1 2 ( γ 2 + π 2 6 ) z − 1 6 ( γ 3 + γ π 2 2 + 2 ζ ( 3 ) ) z 2 + O ( z 3 ) ., {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}-\gamma +{\tfrac {1}{2}}\left (\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\rechts) z – {\tfrac {1}{6}} \ left(\gamma ^{3}+{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}}+2\zeta (3) \ rechts) z^{2}+O (z^{3}).}

Ungleichungen}

Wenn auf die positiven reellen Zahlen beschränkt, ist die Gamma-Funktion eine streng logarithmisch konvexe Funktion., Diese Eigenschaft kann festgehalten werden: in jedem der drei folgenden äquivalenten Möglichkeiten:

• Für zwei beliebige positive reelle zahlen x 1 {\displaystyle x_{1}} und x 2 {\displaystyle x_{2}} , und für jedes t ∈ {\displaystyle t\in}

Γ ( t x 1 + ( 1 − t ) x 2 ) ≤ Γ ( x 1 ) t Γ ( x 2 ) 1 − t . {\displaystyle \Gamma (tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq \Gamma (x_{1})^{t}\Gamma (x_{2})^{1-t}.}

• Für zwei beliebige positive reelle zahlen x und y mit y > x,

( Γ ( y ) Γ ( x ) ) 1 y − x > exp ⁡ ( Γ ‚ ( x ) Γ ( x ) ) ., {\displaystyle \left({\frac {\Gamma (y)}{\Gamma (x)}}\right)^{\frac {1}{y-x}}>\exp \left({\frac {\Gamma ‚(x)}{\Gamma (x)}}\rechts).}

• Für jede positive reelle Zahl x {\displaystyle x} ,

Γ ( x ) Γ ( x ) > Γ ‚ ( x ) 2 . {\displaystyle \Gamma(x)\Gamma (x)>\Gamma ‚(x)^{2}.} Γ ( a 1 x 1 + ⋯ + a n x n a 1 + ⋯ + a n ) ≤ ( Γ ( x 1 ) a 1 ⋯ Γ ( x n ) a n) – 1 a 1 + ⋯ + a n ., {\displaystyle \Gamma \left({\frac {a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}\right)\leq {\bigl (}\Gamma (x_{1})^{a_{1}}\cdots \Gamma (x_{n})^{a_{n}}{\bigr )}^{\frac {1}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}.}

Es gibt auch Grenzen für Verhältnisse von Gamma-Funktionen. Der bekannteste ist Gautschi-Ungleichung, die besagt, dass für jede positive reelle Zahl x und alle s ∈ (0, 1),

x 1 − N < Γ ( x + 1 ) Γ ( x + s ) < ( x + 1 ) 1 − s ., {\displaystyle x^{1-s}<{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+s)}}<(x+1)^{1-s}.}

Stirlings formulaEdit

Das Verhalten von Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} für eine zunehmende positive Variable ist einfach. Es wächst schnell, schneller als eine Exponentialfunktion in der Tat., Asymptotisch wie z → ∞ , {\textstyle z\to \infty \ ,} die Größe von der gamma-Funktion ist gegeben durch die Stirling-Formel

Γ ( z + 1 ) ∼ 2 π z ( z e ) z , {\displaystyle \Gamma (z+1)\sim {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z},}

eine Weitere sinnvolle Grenze für das asymptotische Näherungen ist:

lim n → ∞ Γ ( n + α ) Γ ( n ) n α = 1 , α ∈ C . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+\alpha )}{\Gamma (n)n^{\alpha }}}=1,\qquad \alpha \in \mathbb {C} .}

ResiduesEdit

Das Verhalten für nicht positives z {\displaystyle z} ist komplizierter., Eulers Integral konvergiert nicht für z ≤ 0 {\displaystyle z\leq 0}, aber die Funktion, die es in der positiven komplexen Halbebene definiert, hat eine eindeutige analytische Fortsetzung zur negativen Halbebene. Einen Weg zu finden, die analytische Fortsetzung ist die Verwendung von Euler-integral für positive Argumente und erweitern Sie die Domäne, um negative zahlen durch wiederholte Anwendung der Wiederholung der Formel,

Γ ( z ) = Γ ( z + n + 1 ) z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n ) , {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdot \ prod_ (z+n)}},} Res ⁡ ( f , c ) = lim z → c ( z − c ) f ( z ) ., {\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).}

Für die einfache pole z = − n , {\displaystyle z=-n} schreiben wir Rezidiv-Formel:

( z + n ) Γ ( z ) = Γ ( z + n + 1 ) z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n − 1 ) . {\displaystyle (z+n)\Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdot \ prod_ (z+n-1)}}.}

Der Zähler z = − n , {\displaystyle z=-n} ist

Γ ( z + n + 1 ) = Γ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \Gamma (z+n+1)=\Gamma (1)=1}

und der Nenner,

z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n − 1 ) = − n ( 1 − n ) ⋯ ( n − 1 − n ) = ( − 1 ) n n ! ., {\displaystyle z(z+1)\cdot \ prod_ (z+n-1)=-n(1-n)\cdot \ prod_ (n-1-n)=(-1)^{n}n!.}

Die Rückstände der Gamma-Funktion an diesen Punkten sind also:

Res ⁡ (Γ , – n) = (−1) n ! . {\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma , n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.}

MinimaEdit

Die Gamma-Funktion hat ein lokales Minimum bei zmin ≈ +1.46163214496836234126(abgeschnitten), wobei sie den Wert Γ (zmin) ≈ +0.88560319441088870027 (abgeschnitten) erreicht., Die Gamma-Funktion muss das Vorzeichen zwischen den Polen wechseln, da das Produkt in der Vorwärtsrezidive eine ungerade Anzahl negativer Faktoren enthält, wenn die Anzahl der Pole zwischen z {\displaystyle z} und z + n {\displaystyle z+n} ungerade und eine gerade Zahl ist, wenn die Anzahl der Pole gerade ist.

Integraldarstellungenedit

Neben dem Euler-Integral der zweiten Art gibt es viele Formeln, die die Gamma-Funktion als Integral ausdrücken. Zum Beispiel, wenn der Realteil von z ist positiv,

Γ ( z ) = ∫ 0 1 ( log ⁡ 1 t ) z − 1 d t ., {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{1}\left(\log {\frac {1}{t}}\right)^{z-1}\,dt.}

Binet die erste integral-Formel für gamma-Funktion besagt, dass, wenn der Realteil von z ist positiv, so wird:

log ⁡ Γ ( z ) = ( z − 1 2 ) – log ⁡ z − z + 1 2 log ⁡ ( 2 π ) + ∫ 0 ∞ ( 1 2 − 1 t + 1 e t − 1 ) e − t-z-t d t . {\displaystyle \log \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right){\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt.}

Das Integral auf der rechten Seite kann als Laplace-Transformation interpretiert werden., Ist,

log ⁡ ( Γ ( z ) ( e z ) z 2 π z ) = L ( 1 2 t − 1 t 2 + 1 t ( e t − 1 ) ) ( z ) . {\displaystyle \log \left(\Gamma (z)\left({\frac {e}{z}}\right)^{z}{\sqrt {2\pi z}}\right)={\mathcal {L}}\left({\frac {1}{2t}}-{\frac {1}{t^{2}}}+{\frac {1}{t(e^{t}-1)}}\right)(z).}

Binet das zweite integral der Formel besagt, dass, wieder, wenn der Realteil von z ist positiv, so wird:

log ⁡ Γ ( z ) = ( z − 1 2 ) – log ⁡ z − z + 1 2 log ⁡ ( 2 π ) + 2 ∫ 0 ∞ arctan ⁡ ( t / z ) e 2 π t − 1 d t ., {\displaystyle \log \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt.,}

Sei C eine Hankelkontur, also ein Pfad, der am Punkt ∞ auf der Riemann − Kugel beginnt und endet, dessen Einheitstangenvektor zu -1 am Anfang des Pfades und zu 1 am Ende konvergiert, der die Wicklungszahl 1 um 0 herum hat und der sich nicht kreuzt

Γ ( z) = − 1 2 i sin ⁡ π z ∫ C (−t ) z − 1 e-t d t , {\displaystyle \Gamma (z)=-{\frac {1}{2i\sin \pi z}}\int _{C} (- t)^{z-1}e^{−t}\,dt,} 1 Γ ( z ) = i 2 π ∫ C (−t) − z e-t d t , {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\int _{C} (- t)^{- z}e^{- t}\,dt,}

wieder gültig, wenn z keine Ganzzahl ist.,Salbung hat folgende Fourier-Serie Erweiterung für 0 < z < 1 : {\displaystyle 0<z<1:}

ln ⁡ Γ ( z ) = ( 1 2 − z ) ( γ + ln ⁡ 2 ) + ( 1 − z ) ln ⁡ π − 1 2 ln ⁡ sin ⁡ ( π z ) + 1 π ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n-n sin ⁡ ( 2 π n z ) , {\displaystyle \ln \Gamma (z)=\left({\frac {1}{2}}-z\right)(\gamma +\ln 2)+(1-z)\ln \pi -{\frac {1}{2}}\ln \sin(\pi z)+{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n}}\sin(2\pi nz),}

die für eine lange Zeit war zurückzuführen auf Ernst Kummer, der abgeleitet, die es im Jahr 1847., Iaroslav Blagouchine entdeckte jedoch, dass Carl Johan Malmsten diese Serie erstmals 1842 ableitete.

Raabes Rezepturedit

1840 bewies Joseph Ludwig Raabe, dass

∫ a + 1 ln ⁡ Γ (z) d z = 1 2 ln ⁡ 2 π + a ln ⁡ a − a , a > 0. {\displaystyle \int _{a}^{a+1}\ln \Gamma (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi +a – \ln a-a,\quad a>0.}

insbesondere dann, wenn a = 0 {\displaystyle a=0}, dann

∫ 0 1 ln ⁡ Γ ( z ) d z = 1 2 ln ⁡ 2 π . {\displaystyle \int _{0}^{1}\ln \Gamma (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi .,}

Letzteres kann unter Verwendung des Logarithmus in der obigen Multiplikationsformel abgeleitet werden, die einen Ausdruck für die Riemann-Summe des Integrands ergibt. Wenn Sie das Limit für a → ∞ {\displaystyle a\rightarrow \infty }, erhalten Sie die Formel.,

Pi functionEdit

Eine alternative Notation, die ursprünglich von Gauss eingeführt wurde und die manchmal verwendet wurde, ist die Π {\displaystyle \Pi } -Funktion,die in Bezug auf die Gamma − Funktion

Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e-t z d t, {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{- t}t^{z}\, dt,}

damit Π ( n ) = n ! {\displaystyle \Pi (n)=n!} für jede nicht negative Ganzzahl n {\displaystyle n} .,

Mit der pi − Funktion nimmt die Reflexionsformel die Form an

Π ( z ) Π (- z ) = π z sin ⁡ ( π z ) = 1 sinc ⁡ ( z ) {\displaystyle \Pi (z)\Pi (−z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}

wobei sinc die normalisierte sinc − Funktion ist, während der Multiplikationssatz nimmt die Form

Π ( z m ) Π ( z − 1 m ) ⋯ Π ( z − m + 1 m ) = ( 2 π ) m − 1 2 m-z-1 2 Π ( z) an . {\displaystyle \Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\neq I \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}m^{-z-{\frac {1}{2}}}\Pi (z)\ .,}

Manchmal finden wir auch

π (z) = 1 Π ( z), {\displaystyle \pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}}\,}

Das Volumen eines n-Ellipsoids mit Radien r1, …, rn ausgedrückt werden kann, als

V n ( r 1 , … , r n ) = π n 2 Π ( n-2 ) ∏ k = 1 n r k . {\displaystyle V_{n}(r_{1},\dotsc ,r_{n})={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Pi \left({\frac {n}{2}}\right)}}\prod _{k=1}^{n}r_{k}.}

Beziehung zu anderen Funktionenedit

• Im ersten Integral oben, das die Gamma-Funktion definiert, sind die Integrationsgrenzen festgelegt., Die obere und untere unvollständige Gamma-Funktion sind die Funktionen, die dadurch erhalten werden, dass die untere bzw. obere Grenze der Integration variieren kann.
• Die gamma-Funktion ist im Zusammenhang mit der beta-Funktion durch die Formel

B ( x , y ) = ∫ 0 1 t x − 1 ( 1 − t ) y − 1 d t = Γ ( x ) Γ ( y ) Γ ( x + y ) . {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.}

• Die logarithmische Ableitung der Gamma-Funktion wird als Digamma-Funktion bezeichnet; höhere Ableitungen sind die Polygamma-Funktionen.,
• Das Analogon der Gamma-Funktion über einem endlichen Feld oder einem endlichen Ring ist die Gaußsche Summe, eine Art exponentielle Summe.
• Die reziproke Gamma-Funktion ist eine ganze Funktion und wurde als spezifisches Thema untersucht.
• Die Gamma-Funktion zeigt sich auch in einer wichtigen Beziehung zur Riemann – Zeta-Funktion ζ (z) {\displaystyle \zeta (z)}.

π-z 2 Γ (z 2 ) π (z ) = π-1-z 2 Γ (1-z 2) π ( 1 − z)., {\displaystyle \pi ^{-{\frac {z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {z}{2}}\right)\zeta (z)=\pi ^{-{\frac {1-z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {1-z}{2}}\right)\;\zeta (1-z).} Es erscheint auch in der folgenden Formel: ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ u z e u 1 d u u , {\displaystyle \zeta (z)\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{z}}{e^{u}-1}}\,{\frac {du}{u}},} gilt nur für ℜ ( z ) > 1 {\displaystyle \Re (z)>1} ., Der Logarithmus der Gamma − Funktion erfüllt aufgrund von Lerch die folgende Formel: log ⁡ Γ ( x ) = ζ H ‚( 0 , x)-ζ ‚ ( 0 ) , {\displaystyle \log \Gamma (x)=\zeta _{H}'(0,x) – \zeta ‚(0),} wobei z H {\displaystyle \zeta _{H}} die Hurwitz-Zeta-Funktion ist, z {\displaystyle \zeta } die Riemann-Zeta-Funktion ist und die Primzahl (‚) die Differenzierung in die erste Variable.

• Die Gamma-Funktion bezieht sich auf die gestreckte Exponentialfunktion. Für Beispiel, die Momente, die Funktion

⟨ τ n ⟩ ≡ ∫ 0 ∞ d t t n − 1-e − ( t-τ ) β = τ n-β-Γ ( n, β ) ., {\displaystyle \langle \tau ^{n}\rangle \equiv \int _{0}^{\infty }dt\,t^{n-1}\,e^{-\left({\frac {t}{\tau }}\right)^{\beta }}={\frac {\tau ^{n}}{\beta }}\Gamma \left({n \over \beta }\rechts).}

Bestimmte Werteedit

Einschließlich der ersten 20 Ziffern nach dem Komma sind einige bestimmte Werte der Gamma-Funktion:

Γ (- 3 2 ) = 4 π 3 ≈ + 2.36327 18012 07354 70306 (−1 2) = – 2 π ≈ − 3.54490 77018 11032 05459 L (1 2) = l (1 2)+ 1.77245 38509 05516 02729 Γ (1 ) = 0 ! = + 1 Γ ( 3 2 ) = π 2 ≈ + 0.,88622 69254 52758 01364 Γ ( 2 ) = 1 ! = + 1 Γ ( 5 2 ) = 3 π 4 ≈ + 1.32934 03881 79137 02047 Γ ( 3 ) = 2 ! = + 2 Γ ( 7 2 ) = 15 π 8 ≈ + 3.32335 09704 47842 55118 Γ ( 4 ) = 3 ! = + 6 {\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx &+2.,36327\,18012\,07354\,70306\\\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)&=&-2{\sqrt {\pi }}&\approx &-3.54490\,77018\,11032\,05459\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\approx &+1.77245\,38509\,05516\,02729\\\Gamma (1)&=&0!,&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx &+0.88622\,69254\,52758\,01364\\\Gamma (2)&=&1!&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)&=&{\tfrac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx &+1.,32934\,03881\,79137\,02047\\\Gamma (3)&=&2!&=&+2\\\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)&=&{\tfrac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx &+3.32335\,09704\,47842\,55118\\\Gamma (4)&=&3!,&=&+6\end{array}}}

Die komplexwertige Gamma-Funktion ist für nicht positive Ganzzahlen nicht definiert, in diesen Fällen kann der Wert jedoch in der Riemann-Sphäre als ∞definiert werden. Die wechselseitige gamma-Funktion ist gut definiert und Analyse bei diesen Werten (und in der gesamten komplexen Ebene):

1 Γ ( − 3 ) = 1 Γ ( − 2 ) = 1 Γ ( − 1 ) = 1 Γ ( 0 ) = 0. {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (-3)}}={\frac {1}{\Gamma (-2)}}={\frac {1}{\Gamma (-1)}}={\frac {1}{\Gamma (0)}}=0.}