Implizite Funktion

In der Berechnung verwendet eine Methode namens implizite Differenzierung die Kettenregel, um implizit definierte Funktionen zu unterscheiden.

Um eine implizite Funktion y(x) zu unterscheiden, die durch eine Gleichung R(x, y) = 0 definiert ist, ist es im Allgemeinen nicht möglich, sie explizit für y zu lösen und dann zu differenzieren. Stattdessen kann man R(x, y) = 0 in Bezug auf x und y vollständig unterscheiden und dann die resultierende lineare Gleichung für dy/dx lösen, um die Ableitung explizit in Bezug auf x und y zu erhalten., Selbst wenn es möglich ist, die ursprüngliche Gleichung explizit zu lösen, ist die Formel, die sich aus der totalen Differenzierung ergibt, im Allgemeinen viel einfacher und einfacher zu verwenden.

ExamplesEdit

1. Beispiel. Betrachten

y + x + 5 = 0 . {\displaystyle y+x+5=0\,.}

Diese Gleichung ist für y leicht zu lösen und gibt

y = − x − 5 , {\displaystyle y=-x-5\,,}

wobei die rechte Seite die explizite Form der Funktion y(x) ist. Die Differenzierung ergibt dann dy / dx = -1.

Alternativ kann man völlig unterscheiden von der ursprünglichen Gleichung:

d y d x + d x d x + d d x ( 5 ) = 0 ; d y d x + 1 + 0 = 0 ., {\displaystyle {\begin{ausgerichtet}{\frac {dy}{dx}}+{\frac {dx}{dx}}+{\frac {d}{dx}}(5)&=0\,;\\{\frac {dy}{dx}}+1+0&=0\,.\end{ausgerichtet}}}

die Lösung für dy/dx gibt

d y d x = − 1 , {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-1\,,}

die gleiche Antwort wie zuvor gewonnen.

Beispiel 2. Ein Beispiel für eine implizite Funktion, für die implizite Differenzierung einfacher ist als explizite Differenzierung, ist die Funktion y (x), die durch die Gleichung

x 4 + 2 y 2 = 8 definiert ist . {\displaystyle x^{4}+2y^{2}=8\,.,}

Um dies explizit in Bezug auf x zu unterscheiden, muss man zuerst

y (x ) = ± 8-x 4 2, {\displaystyle y (x)=\pm {\sqrt {\frac {8-x^{4}}{2}}}\,,}

und dann diese Funktion unterscheiden. Dadurch werden zwei Ableitungen erstellt: eine für y ≥ 0 und eine für y < 0.

Es ist wesentlich einfacher zu implizit unterscheiden von der ursprünglichen Gleichung:

4 x 3 + 4 y-d y d x = 0 {\displaystyle 4x^{3}+4y{\frac {dy}{dx}}=0\,,}

geben

d y d x = − 4 x 3 4 y = − x 3 y . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {-4x^{3}}{4y}}=-{\frac {x^{3}}{y}}\,.}

in Beispiel 3., Oft ist es schwierig oder unmöglich, explizit für y zu lösen, und implizite Differenzierung ist die einzig mögliche Methode der Differenzierung. Ein Beispiel ist die Gleichung

y 5 − y = x . {\displaystyle y^{5}-y=x\,.}

Es ist unmöglich, y explizit als Funktion von x algebraisch auszudrücken, und daher kann man dy/dx nicht durch explizite Differenzierung finden. Über die implizite Methode, dy/dx erhält man durch differenzieren der Gleichung zu erhalten,

5 y 4 d y d x d y d x = d x d x , {\displaystyle 5y^{4}{\frac {dy}{dx}}-{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}\,,}

wo dx/dx = 1., Factoring out dy / dx zeigt, dass

(5 y 4-1 ) d y d x = 1, {\displaystyle \left(5y^{4}-1\right){\frac {dy}{dx}}=1\,,}

was das Ergebnis ergibt

d y d x = 1 5 y 4-1, {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{5y^{4}-1}}\,,}

definiert für

y ≠ ± 1 5 4 und y ≠ ± i 5 4 . {\displaystyle y\neq \pm {\frac {1}{\sqrt{5}}}\quad {\text{und}}\quad y\neq \pm {\frac {i}{\sqrt{5}}}\,.}

Allgemeine Formel für die Ableitung der impliziten Funktion y

Wenn R (x, y) = 0 ist, ist die Ableitung der impliziten Funktion y(x) gegeben durch:§11.,5

d y d x = − ∂ R ∂ x ∂ R ∂ y = − R x R y {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\,{\frac {\partial R}{\partial x}}\,}{\frac {\partial R}{\partial y}}}=-{\frac {R_{x}}{R_{y}}}\,,}

wobei Rx und Ry geben die partiellen Ableitungen von f in Bezug auf x und y.,

Die obige Formel kommt aus der Verwendung der verallgemeinerten Kettenregel erhalten Sie die totale Ableitung in Bezug auf x — von beiden Seiten von R(x, y) = 0:

∂ f ∂ x d x d x + ∂ f ∂ y d y d x = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,}

also

∂ R ∂ x + ∂ f ∂ y d y d x = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial x}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,}

die, wenn Sie gelöst dy/dx, gibt der Ausdruck oben.