Intermediate Algebra (Deutsch)

Die Diskriminante

Die quadratische Formel generiert nicht nur die Lösungen für eine quadratische Gleichung, sondern informiert uns auch über die Art der Lösungen. Wenn wir die Diskriminante oder den Ausdruck unter dem Radikalen {b}^{2}-4ac betrachten, wird uns mitgeteilt, ob es sich bei den Lösungen um reelle Zahlen oder komplexe Zahlen handelt und wie viele Lösungen von jedem Typ zu erwarten sind., Die folgende Tabelle bezieht den Wert der Diskriminante auf die Lösungen einer quadratischen Gleichung.

Wir haben gesehen, dass eine quadratische Gleichung zwei reale Lösungen haben kann, eine reale Lösung oder zwei komplexe Lösungen.

• Wenn b^{2}-4ac>0, dann die Zahl unter dem radikalen wird ein positiver Wert. Sie können immer die Quadratwurzel eines Positiven finden, sodass die Auswertung der quadratischen Formel zu zwei realen Lösungen führt (eine durch Addieren der positiven Quadratwurzel und eine durch Subtrahieren).,
• Wenn b^{2} – 4ac=0 ist, nehmen Sie die Quadratwurzel von 0, die 0 ist. Da das Addieren und Subtrahieren von 0 beide das gleiche Ergebnis liefert, spielt der Teil „\pm“ der Formel keine Rolle. Es wird eine echte wiederholte Lösung geben.
• Wenn b^{2}-4ac<0, dann die Zahl unter dem radikalen wird ein negativer Wert. Da Sie die Quadratwurzel einer negativen Zahl nicht mit reellen Zahlen finden können, gibt es keine wirklichen Lösungen. Sie können jedoch imaginäre Zahlen verwenden., Sie haben dann zwei komplexe Lösungen, eine durch Addieren der imaginären Quadratwurzel und eine durch Subtrahieren.

Im letzten Beispiel zeichnen wir eine Korrelation zwischen der Anzahl und Art der Lösungen für eine quadratische Gleichung und dem Graphen der entsprechenden Funktion.

Wir können unsere Ergebnisse wie folgt zusammenfassen:

Im folgenden Video zeigen wir weitere Beispiele für die Verwendung der Diskriminante, um die Art der Lösungen für eine quadratische Gleichung zu beschreiben.

Zusammenfassung

Die Diskriminante kann uns auch über das Verhalten des Graphen einer quadratischen Funktion informieren.