Kalkül I-Ableitungen von Trig-Funktionen

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Abschnitt 3-5: Ableitungen von Trig-Funktionen

In diesem Abschnitt werden wir uns mit den Ableitungen anderer Funktionen als Polynomen oder Wurzeln von Polynomen befassen. Wir beginnen diesen Prozess mit einem Blick auf die Ableitungen der sechs Trig-Funktionen. Zwei der Derivate werden abgeleitet. Die restlichen vier sind Ihnen überlassen und werden ähnliche Beweise für die beiden hier angegebenen folgen.

Bevor wir uns tatsächlich mit den Derivaten der Trig-Funktionen befassen, müssen wir einige Grenzwerte angeben, die bei der Ableitung von zwei der Derivate auftauchen.,

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Siehe den Abschnitt Proof of Trig Limits im Kapitel Extras, um den Beweis dieser beiden Limits zu sehen.

Bevor Sie eine kurze Notiz. Die Schüler fragen oft, warum wir in einer Kalkülklasse immer Radiant verwenden. Dies ist der Grund, warum! Der Beweis der Formel mit Sinus oben erfordert, dass die Winkel im Bogenmaß sind. Wenn die Winkel in Grad sind, ist die Grenze, an der Sinus beteiligt ist, nicht 1, und daher würden sich auch die Formeln, die wir unten ableiten, ändern. Die folgenden Formeln würden eine zusätzliche Konstante aufnehmen, die unserer Arbeit im Wege steht, und daher verwenden wir Radiant, um dies zu vermeiden., Denken Sie also daran, immer Radiant in einer Kalkülsklasse zu verwenden!

Bevor wir mit der Unterscheidung von Trig-Funktionen beginnen, lassen Sie uns eine kurze Reihe von Grenzproblemen bearbeiten, die uns diese Tatsache jetzt ermöglicht.

Okay, jetzt, da wir diese Reihe von Limit-Beispielen aus dem Weg geräumt haben, kehren wir zum Hauptpunkt dieses Abschnitts zurück und unterscheiden Trig-Funktionen.

Wir beginnen mit dem Finden der Ableitung der Sinusfunktion. Dazu müssen wir die Definition der Ableitung verwenden. Es ist schon eine Weile her, dass wir das benutzen mussten, aber manchmal können wir einfach nichts dagegen tun., Hier ist die Definition der Ableitung für die Sinusfunktion.

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Da wir nicht einfach \(h = 0\) einstecken können, um das Limit auszuwerten, müssen wir die folgende Trig-Formel für den ersten Sinus im Zähler verwenden.

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Wenn Sie dies tun, erhalten wir

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Wie Sie bei Verwendung der Trig-Formel sehen können, können wir den ersten und dritten Term kombinieren und dann einen Sinus daraus berechnen. Wir können dann die Fraktion in zwei Teile aufteilen, die beide separat behandelt werden können.

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An dieser Stelle müssen wir nur die Grenzen in der obigen Tatsache verwenden, um dieses Problem zu lösen.,

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Die Differenzierung des Kosinus erfolgt auf ähnliche Weise. Es wird eine andere Trig-Formel erfordern, aber ansonsten ist ein fast identischer Beweis. Die Details werden Ihnen überlassen. Wenn Sie mit dem Beweis fertig sind, den Sie erhalten sollten,

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Mit diesen beiden aus dem Weg sind die restlichen vier ziemlich einfach zu bekommen. Alle verbleibenden vier Trig-Funktionen können in Sinus und Cosinus definiert werden, und diese Definitionen können zusammen mit geeigneten Ableitungsregeln verwendet werden, um ihre Ableitungen zu erhalten.

Schauen wir uns tangent an., Tangente ist definiert als

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Jetzt, da wir die Ableitungen von Sinus und Kosinus haben, müssen wir nur noch die Quotientenregel verwenden. Lass uns das tun.

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Die verbleibenden drei Trig-Funktionen sind ebenfalls Quotienten mit Sinus und/oder Kosinus und können daher auf ähnliche Weise differenziert werden. Wir überlassen Ihnen die Details. Hier sind die Ableitungen aller sechs Trig-Funktionen.

Ableitungen der sechs Trig-Funktionen

An dieser Stelle sollten wir einige Beispiele bearbeiten.

Als letztes Problem vergessen wir hier nicht, dass wir noch unsere Standardinterpretationen haben.,

In diesem Abschnitt haben wir gesehen, wie Trig-Funktionen unterschieden werden können. Wir haben auch im letzten Beispiel gesehen, dass unsere Interpretationen der Ableitung immer noch gültig sind, sodass wir diese nicht vergessen können.

Außerdem ist es wichtig, dass wir Trig-Gleichungen lösen können, da dies in diesem Kurs immer wieder auftreten wird. Es ist auch wichtig, dass wir die Arten von Zahlenzeilen verwenden können, die wir im letzten Beispiel verwendet haben, um festzustellen, wo eine Funktion positiv und wo eine Funktion negativ ist. Dies ist etwas, das wir gelegentlich sowohl in diesem als auch im nächsten Kapitel tun werden.