Kurve

Grob gesagt ist eine differenzierbare Kurve eine Kurve, die als lokal definiert ist das Bild einer injizierenden differenzierbaren Funktion γ: I → X {\displaystyle \gamma \colon I\rightarrow X} aus einem Intervall I der reellen Zahlen in eine differenzierbare Mannigfaltigkeit X, oft R n. {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}

Genauer gesagt ist eine differenzierbare Kurve eine Teilmenge C von X, wobei jeder Punkt von C eine Nachbarschaft U hat, so dass C ∩ U {\displaystyle C\cap U} diffeomorph zu einem Intervall der reellen Zahlen ist., Mit anderen Worten, eine differenzierbare Kurve ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension eins.

Länge eines curveEdit

Länge ⁡ (γ) = def ∫ a b | γ ‚ ( t) | d. t. {\displaystyle \operatorname {Length} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}|\gamma \,'(t)|~\mathrm {d} {t}.}

Die Länge einer Kurve ist unabhängig von der Parametrisierung γ {\displaystyle \gamma } .

s = ∫ a b 1 + 2 d x . {\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+^{2}}}~\mathrm {d} {x}.,} Länge ⁡ ( γ ) = def sup ( { ∑ i = 1 n d ( γ ( t i ) , γ ( t i − 1 ) ) | n ∈ N und a = t 0 < t 1 < … < t n = b } ) , {\displaystyle \operatorname {Length} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\sup \!\Links(\left\{\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i-1}))~{\Bigg |}~n\in \mathbb {N} ~{\text{und}}~a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b\right\}\right),} Länge ( γ | ) = t 2 − t 1 . {\displaystyle \operatorname {Length} \!,\left(\gamma |_{}\rechts)=t_{2}-t_{1}.} Geschwindigkeit γ ( t ) = def lim sup ∋ N → t d ( γ ( s) γ ( t ) ) | s − t | {\displaystyle {\operatorname {Speed} _{\gamma }}(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\limsup _{\ni s\to t}{\frac {d(\gamma (s)\gamma (t))}{|s-t|}}}

und dann zeigen Sie, dass

Length ⁡ ( γ ) = ∫ a b Geschwindigkeit γ ( t ) d t . {\displaystyle \operatorname {Length} (\gamma )=\int _{a}^{b}{\operatorname {Speed} _{\gamma }}(t)~\mathrm {d} {t}.,}

Differential geometryEdit

Während die ersten Beispiele für Kurven, die erfüllt werden, meist ebene Kurven sind (dh gekrümmte Linien im zweidimensionalen Raum), gibt es offensichtliche Beispiele wie die Helix, die natürlich in drei Dimensionen existieren. Die Bedürfnisse der Geometrie, und auch zum Beispiel der klassischen Mechanik sind, einen Begriff der Kurve im Raum einer beliebigen Anzahl von Dimensionen zu haben. In der allgemeinen Relativitätstheorie ist eine Weltlinie eine Kurve in der Raumzeit.,

Wenn X {\displaystyle X} eine differenzierbare Kurve ist, können wir den Begriff der differenzierbaren Kurve in X {\displaystyle X} definieren . Diese allgemeine Idee reicht aus, um viele Anwendungen von Kurven in der Mathematik abzudecken. Aus lokaler Sicht kann man X {\displaystyle X} als euklidischen Raum betrachten. Auf der anderen Seite ist es nützlich, allgemeiner zu sein, da es beispielsweise möglich ist, die Tangentenvektoren anhand dieses Kurvenbegriffs zu X {\displaystyle X} zu definieren.,

Wenn X {\displaystyle X} eine glatte Karte ist, ist eine glatte Kurve in X {\displaystyle X} eine glatte Karte

γ : I → X {\displaystyle \gamma \colon I\rightarrow X} .

Eine differenzierbare Kurve soll regelmäßig sein, wenn ihre Ableitung niemals verschwindet. (In Worten, eine reguläre Kurve verlangsamt sich niemals bis zum Stillstand oder zieht sich zurück.,) Zwei Ck {\displaystyle C^{k}} differenzierbare Kurven

γ 1 : I → X {\displaystyle \gamma _{1}\colon I\rightarrow X} und γ 2 : J → X {\displaystyle \gamma _{2}\colon J\rightarrow X}

werden als äquivalent bezeichnet , wenn es eine bijektive Ck {\displaystyle C^{k}} map

p : J → I {\displaystyle p\colon J\rightarrow I}

solche dass die inverse Karte

p − 1 : I → J {\displaystyle p^{-1}\colon I\rightarrow J}

auch Ck {\displaystyle C^{k}} ist und

γ 2 ( t ) = γ 1 ( p ( t ) ) {\displaystyle \gamma _{2}(t)=\gamma _{1}(p(t))}