Präzession

Drehmomentinduzierte Präzession (gyroskopische Präzession) ist das Phänomen, bei dem die Achse eines sich drehenden Objekts (z. B. eines Gyroskops) einen Kegel im Raum beschreibt, wenn ein externes Drehmoment darauf aufgebracht wird. Das Phänomen wird häufig in einer sich drehenden Spielzeugspitze gesehen, aber alle rotierenden Objekte können einer Präzession unterzogen werden. Wenn die Drehzahl und die Größe des externen Drehmoments konstant sind, bewegt sich die Spinachse im rechten Winkel zu der Richtung, die sich intuitiv aus dem externen Drehmoment ergeben würde., Im Falle eines Spielzeugoberteils wirkt sein Gewicht von seinem Massenschwerpunkt nach unten und die normale Kraft (Reaktion) des Bodens drückt an der Kontaktstelle mit dem Träger nach oben. Diese beiden entgegengesetzten Kräfte erzeugen ein Drehmoment, das die Spitze vorausgeht.

Das rechts abgebildete Gerät (oder oben auf mobilen Geräten) ist gimbal montiert., Von innen nach außen gibt es drei Drehachsen: die Radnabe, die Gimbalachse und den vertikalen Drehpunkt.

Um zwischen den beiden horizontalen Achsen zu unterscheiden, wird die Drehung um die Radnabe als Drehen und die Drehung um die Gimbalachse als Pitching bezeichnet. Rotation um die vertikale Schwenkachse wird Rotation genannt.

Stellen Sie sich zunächst vor, dass sich das gesamte Gerät um die (vertikale) Drehachse dreht. Dann wird das Drehen des Rades (um den Radhub) hinzugefügt. Stellen sie sich vor, die gimbal achse gesperrt werden, so dass die rad nicht pitch., Die gimbal achse hat sensoren, dass messen, ob es ist ein drehmoment um die gimbal achse.

Im Bild wurde ein Abschnitt des Rades dm1 genannt. Zum dargestellten Zeitpunkt befindet sich der Abschnitt dm1 am Umfang der Drehbewegung um die (vertikale) Schwenkachse., Der Abschnitt dm1 weist daher eine große Winkeldrehgeschwindigkeit in Bezug auf die Drehung um die Drehachse auf, und da dm1 aufgrund des Coriolis-Effekts näher an die Drehachse der Drehung (durch weiteres Drehen des Rades) gedrückt wird, neigt dm1 dazu, sich in Bezug auf die vertikale Drehachse in Richtung des oberen linken Pfeils im Diagramm (bei 45° dargestellt) in Drehrichtung um die Drehachse zu bewegen. Der Abschnitt dm2 des Rades bewegt sich von der Schwenkachse weg, und so wirkt eine Kraft (wiederum eine Corioliskraft) in die gleiche Richtung wie im Fall von dm1., Beachten Sie, dass beide Pfeile in die gleiche Richtung zeigen.

Die gleiche Argumentation gilt für die untere Hälfte des Rades, aber dort zeigen die Pfeile in die entgegengesetzte Richtung zu der der oberen Pfeile. Kombiniert über das gesamte Rad, gibt es ein Drehmoment um die Gimbalachse, wenn etwas Spinnen hinzugefügt wird, um eine vertikale Achse zu drehen.

Es ist wichtig zu beachten, dass das drehmoment um die gimbal achse entsteht ohne verzögerung; die antwort ist momentane.

In der obigen Diskussion wurde das Setup unverändert gehalten, indem ein Pitching um die Gimbalachse verhindert wurde., Im Falle eines sich drehenden Spielzeugdecks übt die Schwerkraft ein Drehmoment aus, wenn der Kreisel zu kippen beginnt. Doch anstatt zu rollen, dreht sich der Kreisel nur ein wenig. Diese Pitching-Bewegung richtet den Kreisel in Bezug auf das ausgeübte Drehmoment neu aus. Das Ergebnis ist, dass das durch die Schwerkraft ausgeübte Drehmoment – über die Pitching – Bewegung-eine gyroskopische Präzession auslöst (die wiederum ein Gegendrehmoment gegen das Gravitationsmoment ergibt), anstatt dass das Kreisel zur Seite fällt.,

Präzessionen oder gyroskopische Überlegungen wirken sich auf die Fahrradleistung bei hoher Geschwindigkeit aus. Präzession ist auch der Mechanismus hinter gyrocompasses.

Klassische (Newtonsche)Bearbeitung

Präzession ist die Änderung der Winkelgeschwindigkeit und des Drehimpulses, die durch ein Drehmoment erzeugt werden., Die allgemeine Gleichung, die das Drehmoment auf die Änderungsrate des Drehimpulses bezieht, lautet:

τ = d L d t {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathhrm {d} \mathbf {L} }{\mathhrm {d} t}}

Aufgrund der Definition der Drehmomentvektoren ist es ein Vektor, der senkrecht zur Ebene der Kräfte steht, die ihn erzeugen. Somit kann gesehen werden, dass sich der Drehimpulsvektor senkrecht zu diesen Kräften ändert. Abhängig davon, wie die Kräfte erzeugt werden, drehen sie sich oft mit dem Drehimpulsvektor, und dann wird eine kreisförmige Präzession erzeugt.,ese Umstände Die Winkelgeschwindigkeit der Präzession ist gegeben durch:

ω p = m g r I s ω s = τ I s ω s sin ⁡ ( θ ) {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\mathhrm {p} }={\frac {\ mgr}{I_{\mathhrm {s} }{\boldsymbol {\omega }}_{\mathhrm {s}}} ={\frac {\tau} {I_{\mathrm {s}} {\boldsymbol {\omega}} _{\mathrm {s}} \sin(\theta)}}}

wobei Is das Trägheitsmoment ist, ws die Winkelgeschwindigkeit des Spin um die Spinachse ist, m die Masse ist, g die Beschleunigung aufgrund der Schwerkraft ist, θ der Winkel zwischen der Spinachse und der Präzessionsachse ist und r der Abstand zwischen dem Massenmittelpunkt und dem Drehpunkt ist., Der Drehmomentvektor entsteht im Massenmittelpunkt. Mit ω = 2π/T finden wir, dass die Periode der Präzession gegeben ist durch:

T p = 4 π 2 I s m g r T s = 4 π 2 I s sin ⁡ ( θ ) τ T s {\displaystyle T_{\mathrm {p} }={\frac {4\pi ^{2}I_{\mathrm {s} }}{\ mgrT_{\mathrm {s}}} ={\frac {4\pi ^{2} I_{\mathrm {s}} \sin(\theta)} {\\tau T_{\mathrm {s}}}}

Wobei Is das Trägheitsmoment ist, Ts die Spinperiode um die Spinachse ist und τ das Drehmoment ist. Im Allgemeinen ist das Problem jedoch komplizierter.,

DiscussionEdit

Es gibt eine einfache Möglichkeit zu verstehen, warum gyroskopische Präzession ohne Verwendung von Mathematik auftritt. Das Verhalten eines sich drehenden Objekts gehorcht einfach Trägheitsgesetzen, indem es jeder Richtungsänderung widersteht. Ein sich drehendes Objekt besitzt eine Eigenschaft, die als Starrheit im Raum bezeichnet wird, was bedeutet, dass die Spinachse jeder Orientierungsänderung widersteht., Es ist die Trägheit der Materie, die das Objekt umfasst, da es jeder Richtungsänderung widersteht, die diese Eigenschaft bereitstellt. Natürlich ändert sich die Richtung, in die sich diese Angelegenheit bewegt, ständig, wenn sich das Objekt dreht, aber jeder weiteren Richtungsänderung wird widerstanden. Wenn eine Kraft auf die Oberfläche einer sich drehenden Scheibe ausgeübt wird, erfährt die Materie beispielsweise keine Richtungsänderung an der Stelle, an der die Kraft ausgeübt wurde (oder 180 Grad von dieser Stelle entfernt). Aber 90 Grad vor und 90 Grad nach diesem Ort ist die Materie gezwungen, die Richtung zu ändern., Dies bewirkt, dass sich das Objekt so verhält, als ob die Kraft stattdessen an diesen Stellen angewendet würde. Wenn eine Kraft auf irgendetwas ausgeübt wird, übt das Objekt eine gleiche Kraft aus, jedoch in die entgegengesetzte Richtung. Da vorher oder nachher keine tatsächliche Kraft um 90 Grad ausgeübt wurde, hindert nichts die Reaktion daran, und das Objekt bewirkt, dass es sich als Reaktion bewegt. Eine gute Möglichkeit, sich vorzustellen, warum dies geschieht, besteht darin, sich vorzustellen, dass das sich drehende Objekt ein großer hohler Donut ist, der mit Wasser gefüllt ist, wie im Buch Thinking Physics von Lewis Epstein beschrieben. Der Donut wird still gehalten, während Wasser darin zirkuliert., Wenn die Kraft ausgeübt wird, wird das Wasser im Inneren dazu gebracht, die Richtung vor und nach diesem Punkt um 90 Grad zu ändern. Das Wasser übt dann seine eigene Kraft gegen die Innenwand des Donuts aus und bewirkt, dass sich der Donut dreht, als ob die Kraft um 90 Grad in Rotationsrichtung nach vorne ausgeübt würde. Epstein übertreibt die vertikale und horizontale Bewegung des Wassers, indem er die Form des Donuts von rund zu quadratisch mit abgerundeten Ecken ändert.

Stellen Sie sich nun vor, das Objekt sei ein sich drehendes Fahrradrad, das an beiden Enden seiner Achse in den Händen eines Subjekts gehalten wird., Das Rad dreht sich uhrweise, wie von einem Betrachter rechts vom Motiv aus gesehen. Uhrpositionen auf dem Rad sind relativ zu diesem Betrachter angegeben. Während sich das Rad dreht, bewegen sich die darin enthaltenen Moleküle genau horizontal und in dem Moment, in dem sie die 12-Uhr-Position passieren, nach rechts. Sie bewegen sich dann vertikal nach unten, sobald sie 3 Uhr passieren, horizontal nach links bei 6 Uhr, vertikal nach oben bei 9 Uhr und horizontal wieder nach rechts bei 12 Uhr. Zwischen diesen Positionen bewegt jedes Molekül Komponenten dieser Richtungen., Stellen Sie sich nun vor, der Betrachter übt um 12 Uhr eine Kraft auf die Felge des Rades aus. Stellen Sie sich für dieses Beispiel vor, das Rad neigt sich um, wenn diese Kraft ausgeübt wird; Es neigt sich nach links, wie es von dem Subjekt gesehen wird, das es an seiner Achse hält. Wenn sich das Rad in seine neue Position neigt, bewegen sich Moleküle um 12 Uhr (wo die Kraft ausgeübt wurde) sowie solche um 6 Uhr immer noch horizontal; Ihre Richtung änderte sich nicht, als das Rad kippte. Ihre Richtung unterscheidet sich auch nicht, nachdem sich das Rad in seiner neuen Position niedergelassen hat; Sie bewegen sich immer noch horizontal, sobald sie 12 und 6 Uhr passieren., ABER zwischen 3 und 9 Uhr mussten wir die Richtung ändern. Diejenigen um 3 Uhr waren gezwungen, von der Bewegung gerade nach unten, nach unten und nach rechts zu wechseln, wie von dem Subjekt betrachtet, das das Rad hielt. Die vorbeifahrenden 9-Uhr waren gezwungen, sich von gerade nach oben, nach oben und nach links zu bewegen. Diese Richtungsänderung wird durch die Trägheit dieser Moleküle widerstanden. Und wenn sie diese Richtungsänderung erfahren, üben sie an DIESEN STELLEN-3 UND 9 UHR-eine gleiche und entgegengesetzte Kraft aus., Um 3 Uhr, wo sie gezwungen waren, sich von gerade nach unten und nach rechts zu bewegen, üben sie ihre eigene gleiche und entgegengesetzte Reaktionskraft nach links aus. Um 9 Uhr üben sie ihre eigene Reaktionskraft nach rechts aus, wenn sie vom Subjekt betrachtet werden, das das Rad hält. Dies lässt das Rad als Ganzes reagieren, indem es sich von direkt oben gegen den Uhrzeigersinn dreht. Als die Kraft um 12 Uhr ausgeübt wurde, verhielt sich das Rad so, als würde diese Kraft um 3 Uhr ausgeübt, was 90 Grad in Drehrichtung voraus ist., Oder man kann sagen, dass es sich so verhält, als ob eine Kraft aus der entgegengesetzten Richtung um 9 Uhr 90 Grad vor der Drehrichtung ausgeübt wurde.

Wenn Sie eine Kraft auf ein sich drehendes Objekt anwenden, um die Richtung seiner Spinachse zu ändern, ändern Sie nicht die Richtung der Materie, die das Objekt an der Stelle umfasst, an der Sie die Kraft ausgeübt haben (noch bei 180 Grad davon); Materie erfährt an diesen Stellen keine Richtungsänderung. Materie erfährt die maximale Richtungsänderung um 90 Grad vor und um 90 Grad über diesen Ort hinaus und geringere Mengen näher daran., Die gleiche und entgegengesetzte Reaktion, die 90 Grad vorher und nachher auftritt, bewirkt, dass sich das Objekt so verhält, wie es tut. Dieses Prinzip wird in Hubschraubern demonstriert. Hubschraubersteuerungen sind so manipuliert, dass Eingänge zu ihnen an den Rotorblättern an Punkten 90 Grad vor und 90 Grad über den Punkt hinaus übertragen werden, an dem die Änderung der Flugzeughaltung gewünscht wird. Der Effekt ist dramatisch auf Motorrädern zu spüren. Ein Motorrad lehnt sich plötzlich an und dreht sich in die entgegengesetzte Richtung, in der die Lenker gedreht werden.,

Die Gyropräzession verursacht in diesem Szenario ein weiteres Phänomen beim Drehen von Objekten wie dem Fahrradrad. Wenn das Subjekt, das das Rad hält, eine Hand von einem Ende seiner Achse entfernt, stürzt das Rad nicht um, sondern bleibt aufrecht und wird nur am anderen Ende gestützt. Es nimmt jedoch sofort eine zusätzliche Bewegung an; Es beginnt sich um eine vertikale Achse zu drehen und schwenkt am Stützpunkt, während es sich weiter dreht. Wenn Sie zulassen, dass sich das Rad weiter dreht, müssen Sie Ihren Körper in die gleiche Richtung drehen, in die sich das Rad gedreht hat., Wenn sich das Rad nicht dreht, würde es offensichtlich umkippen und fallen, wenn eine Hand entfernt wird. Die anfängliche Wirkung des Rades, das zu stürzen beginnt, entspricht dem Aufbringen einer Kraft um 12 Uhr in Richtung zur nicht unterstützten Seite (oder einer Kraft um 6 Uhr zur unterstützten Seite). Wenn sich das Rad dreht, entspricht der plötzliche Mangel an Unterstützung an einem Ende seiner Achse derselben Kraft. Anstatt umzukippen, verhält sich das Rad also so, als würde bei 3 oder 9 Uhr eine Dauerkraft auf es ausgeübt, abhängig von der Drehrichtung und welcher Hand entfernt wurde., Dadurch beginnt das Rad an dem einen unterstützten Ende seiner Achse zu schwenken, während es aufrecht bleibt. Obwohl es an diesem Punkt schwenkt, tut es dies nur aufgrund der Tatsache, dass es dort unterstützt wird; Die tatsächliche Achse der präzessionellen Rotation befindet sich vertikal durch das Rad und verläuft durch seinen Schwerpunkt. Diese Erklärung berücksichtigt auch nicht den Effekt der Variation der Geschwindigkeit des sich drehenden Objekts; Es zeigt nur, wie sich die Spinachse aufgrund der Präzession verhält., Richtiger verhält sich das Objekt entsprechend dem Gleichgewicht aller Kräfte, basierend auf der Größe der ausgeübten Kraft, Masse und Drehzahl des Objekts. Sobald es visualisiert ist, warum das Rad aufrecht bleibt und sich dreht, kann es leicht gesehen werden, warum sich die Achse eines Kreisel langsam dreht, während sich der obere dreht, wie in der Abbildung auf dieser Seite gezeigt. Ein Oberteil verhält sich aufgrund der nach unten ziehenden Schwerkraft genau wie das Fahrradrad. Der Kontaktpunkt mit der Oberfläche, auf der er sich dreht, entspricht dem Ende der Achse, an dem das Rad abgestützt ist., Wenn sich der Spin des Oberteils verlangsamt, wird die Reaktionskraft, die ihn aufgrund der Trägheit aufrecht hält, durch die Schwerkraft überwunden. Sobald der Grund für die Präzession visualisiert ist, beginnen die mathematischen Formeln Sinn zu machen.

Relativistisch (Einsteinisch)Bearbeiten

Die speziellen und allgemeinen Relativitätstheorien geben drei Arten von Korrekturen an der Newtonschen Präzession eines Gyroskops in der Nähe einer großen Masse wie der Erde, wie oben beschrieben. Sie sind:

• Thomas precession, eine speziell-relativistische Korrektur, bei der ein Objekt (wie ein Gyroskop) entlang eines gekrümmten Pfades beschleunigt wird.,
• – de-Sitter-Präzession, eine allgemein-relativistische Korrektur der Buchhaltung für die Schwarzschild-Metrik des gekrümmten Raumes in der Nähe einer großen, nicht-rotierenden Masse.
• Lense-Thirring-Präzession, eine allgemein-relativistische Korrektur, die den Rahmen berücksichtigt, der durch die Kerr-Metrik des gekrümmten Raums in der Nähe einer großen rotierenden Masse gezogen wird.