Konische Abschnitte

Konischer Abschnitt: ein Abschnitt (oder eine Scheibe) durch einen Kegel.

Cones

Circle
straight through

Ellipse
slight angle

Parabola
parallel to edge
of cone

Hyperbola
steep angle

So all those curves are related!

Focus!,

Die Kurven können auch über eine gerade Linie und einen Punkt (Directrix und Fokus genannt) definiert werden.

Wenn wir den Abstand messen:

• vom Fokus zu einem Punkt in der Kurve und
• senkrecht vom direkten Fokus zu diesem Punkt

Die beiden Abstände sind immer das gleiche Verhältnis.

• Für eine Ellipse ist das Verhältnis kleiner als 1
• Für eine Parabel ist das Verhältnis 1, also sind die beiden Abstände gleich.,
• Für eine Hyperbel ist das Verhältnis größer als 1

Exzentrizität

Dieses Verhältnis oben wird als „Exzentrizität“ bezeichnet, so dass wir sagen können, dass jeder konische Abschnitt ist:

Für:

• 0 < Exzentrizität < 1 wir erhalten eine Ellipse,
• Exzentrizität = 1 eine Parabel, und
• Exzentrizität > 1 eine Hyperbel.,

Ein Kreis hat eine Exzentrizität von Null, daher zeigt uns die Exzentrizität, wie „unkreisförmig“ die Kurve ist. Je größer die Exzentrizität, desto weniger gekrümmt ist sie.

Latus Rektum

Das latus rectum (Nein, es ist nicht ein böses Wort!) verläuft parallel zum direkten Fokus und durchläuft den Fokus. Seine Länge:

• In einer Parabel ist das Vierfache der Brennweite
• In einem Kreis, ist der Durchmesser
• In einer Ellipse, ist 2b2 / a (wobei a und b die Hälfte des Haupt-und Nebendurchmessers sind).,

Hier ist die Hauptachse und Nebenachse einer Ellipse.

Auf jeder Seite gibt es einen Fokus und einen direkten Fokus (dh ein Paar davon).,

Gleichungen

Wenn Sie auf einem x-y − Diagramm so platziert werden, lautet die Gleichung für eine Ellipse:

x2a2 + y2b2 = 1

Der Sonderfall eines Kreises (wobei Radius=a=b):

x2a2 + y2a2 = 1

Und für eine Hyperbel ist es:

x2a2-y2b2 = 1

Allgemeine Gleichung

Wir können eine Gleichung erstellen, die alle diese Kurven abdeckt.,

Da es sich um Ebenenkurven handelt (obwohl sie aus dem Festkörper ausgeschnitten sind), müssen wir uns nur mit kartesischen („x“ und „y“) Koordinaten befassen.

Aber diese sind nicht gerade linien, so nur „x“ und „y“ wird nicht tun … wir müssen zur nächsten Ebene gehen und haben:

• x2 und y2,
• und auch x (ohne y), y (ohne x),
• x und y zusammen (xy)
• und einen konstanten Term.

Dort, das sollte es tun!

Und jeder benötigt einen Faktor (A,B,C usw.) …,

Die allgemeine Gleichung, die alle Kegelabschnitte abdeckt, lautet also:

Und aus dieser Gleichung können wir Gleichungen für Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel erstellen.